Nació en Nueva Zelanda en 1956 y creció en Filipinas, Suecia y el Reino Unido. Actualmente lleva unos veinte años viviendo en Londres. Empezó a escribir programas cómicos después de licenciarse en la Universidad de Oxford en 1978. Durante su época universitaria trabajó con Rowan Atkinson, con el que sigue colaborando actualmente. Su primer trabajo para televisión fue como guionista en la serie de BBC "Not the Nine O´Clock News", que duró cuatro temporadas, a la que siguió "La víbora negra", una serie cómica protagonizada por Rowan Atkinson, cuyas últimas tres temporadas coescribió con Ben Elton.

Durante ese tiempo, los tres (Curtis, Atkinson y Elton) montaron dos obras cómicas en el West End. Escribió su primer guión para la película Un tipo de altura, dirigida por Mel Smith, con Jeff Goldblum, Emma Thompson y Rowan Atkinson, producida por Working Title, empresa con la que ha seguido trabajando desde entonces.

A continuación empezó a escribir la serie "Mr. Bean" y durante varios años siguió con los programas del hombre con corbata que no abre la boca. En 1991 escribió "Bernard and the Genie", una fantasía navideña con Lenny Henry y Alan Cumming. En diciembre de 1993, el Sindicato de Guionistas de Gran Bretaña le otorgó el Premio a los Logros de una Vida.

Su segunda película como guionista, Cuatro bodas y un funeral, de Mike Newell, con Hugh Grant y Andie MacDowell, se estrenó en 1984 y fue galardonada con el César y el Premio del Instituto de Cine Australiano a la Mejor Película Extranjera, y el BAFTA a la Mejor Película, además de ser nominada al Oscar al Mejor Guión Original y Mejor Película.

Es cofundador y vicepresidente de Comic Relief. Fundó esta ONG después de un viaje a Etiopía durante la hambruna de 1985. Ha coproducido diez noches en directo de "Comic Relief" para BBC desde 1987. La organización ha recaudado aproximadamente 500 millones de libras para proyectos benéficos en África y en el Reino Unido.

También fue uno de los miembros fundadores de la coalición Make Poverty History, y entre 2004 y 2005 participó en la campaña Live 8, enfocada a conseguir más justicia, más ayudas y la cancelación de la deuda externa de los países más pobres del mundo.

Fue nombrado Caballero del Imperio Británico en 2000 y es miembro de los BAFTA desde 2007.