Debutó en el largometraje con Sleepers (Sleepers, 1996), de Barry Levinson, junto a Robert DeNiro, Brad Pitt, y Jason Patric.

Crudup fue protagonista de The Elephant Man en el Royale Theater, por lo que recibió la nominación al Tony a la mejor interpretación masculina en pieza teatral. En 1995, debutó en Broadway dando vida a Septimus Hodge en Arcadia, de Tom Stoppard, bajo dirección de Trevor Nunn, lo que le propició varios galardones, entre ellos el Outer Critics Circle al más destacado debut de un actor, así como el Premio Theater World; también fue reconocido con el Clarence Derwent de la Actors Equity Association al Mejor debut en Broadway.

Crudup obtuvo un Máster en artes interpretativas por la Universidad de Nueva York, habiendo asistido también a las aulas de la Universidad de Carolina del Norte, en Chapel Hill. Reside en Nueva York.