Tras estudiar en la Universidad de Miami especializándose en música con "grandes conocimientos sobre caballos", Greenhut volvió a la ciudad de Nueva York de donde es originario y consiguió su primer empleo como ayudante de producción. Consiguió su primer encargo como productor asociado en Lenny de Bob Fosse, a continuación tomó el mando en puestos de producción en Tarde de perros de Sidney Lumet y La Tapadera de Martin Ritt, con Woody Allen.